ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DOS INCOGNITAS

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, es un conjunto de igualdades algebraicas en las que aparecen dos incógnitas, apareciendo dos ecuaciones. Cada una de estas ecuaciones, tiene la forma ax + by = c, donde a, b son los coeficientes de la ecuación; x, y las incógnitas o variables, y c el término independiente (también un valor constante).

Existen varios métodos diferentes para la solución de este tipo de ecuaciones.

MÉTODO DE IGUALACIÓN consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones resultantes; se resuelve la ecuación de primer grado con una incógnita obtenida y se sustituye este valor en las ecuaciones iníciales. 

MÉTODO POR IGUALACION EJEMPLO 1
MÉTODO POR IGUALACIÓN, EJEMPLO 2

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituirla en la otra; así, se obtiene una sola ecuación con una incógnita. Una vez obtenido el valor de esta incógnita, se sustituye su valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema, inicial para calcular el valor de la otra incógnita. 

MÉTODO POR SUSTITUCIÓN, EJEMPLO 1
MÉTODO POR SUSTITUCIÓN, EJEMPLO 2

MÉTODO POR REDUCCIÓN: Dado un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, la técnica consiste en igualar coeficientes de una de las dos incógnitas y que presenten signos contrarios, así se puede eliminar dicha incógnita, obteniendo una ecuación con una incógnita, cuya resolución ya hemos estudiado. Con el valor de la incógnita obtenida, se reemplaza en cualquiera de las dos ecuaciones, para obtener el valor de la otra incógnita.

MÉTODO POR REDUCCIÓN, EJEMPLO 1
MÉTODO POR REDUCCIÓN, EJEMPLO 2

MÉTODO POR DETERMINANTES: Determinante: Un determinante es un arreglo rectangular de filas y columnas, donde los elementos de éste son los coeficientes de las ecuaciones que conforman el sistema.

MÉTODO POR DETERMINANTES

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LAS GRÁFICAS EN LAS ECUACIONES LINEALES.

Definición

Función

Relación entre dos conjuntos, llamados el dominio y el contradominio, de tal manera que a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio.

Una función puede verse como una máquina que transforma los números que le vamos dando, de modo que nos devuelve un número cada vez que le proporcionamos un valor. A la función que encontramos en el ejemplo anterior, le damos la cantidad de litros que vamos a comprar (x) y ella nos devuelve el importe que debemos pagar.

 
Para entender mejor cómo se comportan los valores de una función, los matemáticos sugieren graficar diferentes pares de valores. Para el caso de la función y 0.76923 x + e, podemos elaborar una tabla primero y calcular los valores del importe (y) que les corresponden a los diferentes valores de x. Lo que esperamos observar es que, conforme el valor de x crece, el importe también crece.

Supongamos que, para esto, el valor del envase es e = 1000. Entonces, vamos a graficar la función y 0.76923 x + 10.00.

A partir de un valor de x, podemos calcular el correspondiente valor de y, así que una buena idea es asignar valores a x y calcular los respectivos de y. Al acomodar estos datos en una tabla, podemos fácilmente trazar la gráfica de la función.

Observa que, a medida que aumenta el valor de x (la cantidad de litros que compramos), aumenta el importe que debemos pagar. La gráfica previa corresponde a la función y 0.76923 x + 10. En ella, el valor de la variable x representa la cantidad de litros de agua que compramos, y la variable y representa el importe que debemos pagar por el agua que compramos. La constante 10 que aparece sumada en la función representa el importe del envase. En este caso, estamos suponiendo que el envase cuesta siempre lo mismo, independientemente de la cantidad de litros de agua que compremos. Evidentemente, este no será siempre el caso. 

Observa que una función también es una ecuación, pero con dos variables: x es el valor que nosotros le damos a la función para poder conocer el valor de y. En otras palabras, podemos considerar a la función lineal como una generalización de la ecuación lineal en una variable.

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ECUACIONES DE PRIMER GRADO RESUELTAS

Contenido de esta página:

• Breve Introducción
  
• Recordemos que... (tipos de soluciones, paréntesis y fracciones)
  
• Ecuaciones de Primer Grado Resueltas paso a paso
  

Introducción

En cuanto a las matemáticas, las ecuaciones de primer grado son la introducción al álgebra. Su comprensión es imprescindible para cualquier tipo de ecuaciones: ecuaciones de segundo grado o de grado mayor, exponenciales, irracionales, etc. y para los sistemas de ecuaciones.

En cuanto a la vida real, aunque en un principio no se piense así, las ecuaciones son una herramienta de gran utilidad que nos permiten resolver numerosos problemas a los que nos enfrentamos diariamente. 

Como ya indica su nombre, en las ecuaciones de primer grado, la parte literal de los monomios no tiene exponente (por ejemplo, 3x puede formar parte de una ecuación pero 3x² no porque sería de segundo grado). Justamente este hecho nos asegura que, en caso de existir solución, hay sólo una (excepto el caso especial en qué hay infinitas soluciones).

Decimos "en caso de existir solución" ya que en ocasiones las ecuaciones no tienen solución. Por ejemplo, la ecuación x = x + 1 (cuya lectura es "un número que es igual a su consecutivo") no tiene solución porque esto nunca se cumple. De hecho, la ecuación se reduce a 1 = 0, lo cual es imposible.

Recordemos que...

• Si obtenemos una igualdad imposible, la ecuación no tiene solución.

Ejemplo:
Si obtenemos la ecuación 1 = 0 , la ecuación inicial no tiene solución.

• Si obtenemos una igualdad que siempre se cumple, cualquier valor es solución de la ecuación, es decir, la solución es todos los reales.

Ejemplo:
Si obtenemos la igualdad 0 = 0 , la solución es todos los reales:
$$x\in R$$

• Cuando hay denominadores y queremos evitarlos, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de éstos.

De este modo, al simplificar, los denominadores desaparecen.

Para quitar los paréntesis, multiplicamos el coeficiente de delante del paréntesis por todos los elementos que contiene.

El coeficiente puede ser el signo menos (es decir, -1, entonces el contenido cambia de signo), el signo más (es decir, +1, el contenido no cambia) o un número positivo, negativo o una fracción (este número pasa a multiplicar todo el contenido del paréntesis, cambiando los signos en el caso de ser negativo).

Cuando tenemos paréntesis anidados, es decir, un paréntesis dentro de otro, los vamos quitando desde fuera hacia dentro. Es decir, primero quitamos el paréntesis exterior (multiplicando su contenido por su coeficiente) y después, quitamos los siguientes procediendo del mismo modo: desde el más exterior a los más interiores. En realidad, no es necesario seguir un orden a la hora de quitar los paréntesis, pero es recomendable seguirlo mientras estamos aprendiendo. 

En esta sección se resuelven ecuaciones de primer grado cuya dificultad va aumentado: ecuaciones simples, con fracciones (donde usaremos el mínimo común múltiplo), con paréntesis y con paréntesis anidados (unos dentro de otros).

 Ecuación 1

Sumamos (o restamos) los monomios con la misma parte literal (las x con x, los números con números). Los que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa. 

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

 

Ecuación 2

Los elementos que están sumando en un lado, pasan al otro lado restando y viceversa. 

Después pasamos las x a un lado de la igualdad y los números a la otra.

Ecuación 3

 

Primero nos deshacemos del paréntesis: como tiene un signo negativo delante, cambiamos el signo a todos los elementos de su interior.

Luego sólo tenemos que agrupar las x en un lado y los números en el otro.

Como la x tiene un coeficiente (2) multiplicando, éste pasa al otro lado dividiendo.

Ecuación 4

Solución

Primero nos deshacemos de los paréntesis: el de la derecha tiene un signo negativo, que cambia el signo de los elementos del interior; el de la derecha está multiplicado por 3, que pasa dentro del paréntesis multiplicando a todos los elementos.

 

Ecuación 5

Solución

Tenemos fracciones. Podemos proceder de varias formas:

1. multiplicar todos los términos de la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores
2. o bien, ir multiplicando por cada denominador.

Nosotros multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo, que es 6:

De este modo, al efectuar la división, desaparecen los denominadores. 

Ahora nos deshacemos de los paréntesis: el primero está multiplicado por 3, por lo que multiplicamos por 3 su contenido; el segundo por -2, por lo que multiplicamos por -2 (no olvidar el signo):


Finalmente, agrupamos las x a un lado y los números al otro:


Tenemos 0 = -2, lo cual es una igualdad falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución porque sea cual sea el valor de x, llegamos a una relación (igualdad) absurda. 


Ecuación 6

Solución

Los números que multiplican a los paréntesis son negativos, con lo que al multiplicar su contenido por éstos, todos los elementos cambian de signo.

Ecuación 7

Solución

Como tenemos denominadores, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de éstos, que es 6:

De este modo, al efectuar las divisiones, desaparecen los denominadores.

Ahora sólo falta agrupar las x a un lado y los números al otro.

 

Ecuación 8

 

Solución

Como tenemos denominadores, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de estos, que es 30:

Sólo tenemos un paréntesis, que está multiplicado por 15. Para quitarlo, multiplicamos su contenido por 15:

 

Ecuación 9

Solución

En la ecuación tenemos paréntesis anidados (unos dentro de otros) y multiplicados por fracciones. Pero antes de ocuparnos de esto, multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 6:

Ahora vamos a los paréntesis:
En la izquierda hay dos, pero lo tratamos como si fuera sólo uno. Es decir, multiplicamos todo su contenido por -2.
Al mismo tiempo, en la derecha, multiplicamos el contenido por 9:

Nos queda un paréntesis, que está multiplicado por 6:

 

Ecuación 10

Solución

Como tenemos paréntesis anidados (uno dentro de otro), vamos a ir quitándolos. 

El primer paréntesis (el exterior), está multiplicado por -2. Para quitarlo, multiplicamos todo su contenido por -2:

Ahora, el paréntesis exterior está multiplicado por 6. Para quitarlo, multiplicamos su contenido por 6:

Por último, el paréntesis que queda está multiplicado por -12, por lo que para quitarlo multiplicamos por -12 su contenido:

Ahora vamos a deshacernos de las fracciones, pero antes, sumamos algunos elementos para no tener una expresión tan larga:

Multiplicamos toda la ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores, que es 12:

 

Ecuación 11

Solución

Hemos decidido deshacernos primero del paréntesis y, después, evitar las fracciones multiplicando por los denominadores: 2.

 

Ecuación 12

Solución

La ecuación consta sólo de 3 fracciones, así que la multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

 

 Ecuación 13

 

Solución

Multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores.

  
Ecuación 14

Ver Solución

En este ejercicio hemos multiplicado por un denominador,3, y después al desarrollar los paréntesis anidados y simplificar, desaparecen las fracciones.

Hemos llegado a una igualdad que siempre es verdadera y no depende de x. Esto significa que sea cual sea el valor de x, siempre se cumple la ecuación.

Por tanto, la solución es todos los números reales (infinitas soluciones):

$$x\in R$$

Ecuación 15

Solución

Tenemos paréntesis anidados y fracciones. Hemos simplificado los paréntesis y, después, hemos multiplicado la ecuación por alguno de los denominadores según nos interesaba para evitar las fracciones.

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Cómo hacer un modelo matemático

•  Haz un Modelo Matemático.

Usar el lenguaje matemático para describir un sistema es lo que constituye un modelo matemático. No solo las ciencias naturales y las disciplinas de la ingeniería usan modelos matemáticos, sino también la biología, la economía y la sociología. Los modelos matemáticos pueden ir desde lo simple hasta lo complejo. Si quieres aprender a construir un modelo matemático, sigue leyendo este artículo.

 1.- Prepárate para hacer un Modelo Matemático.  
 

Determina qué quieres saber. ¿Cuál es el objetivo de crear un modelo? Haz una lista de la información que deseas encontrar al usar el modelo. Es importante que te hagas esta pregunta antes de crear el modelo o puedes terminar creando un modelo que no cumpla el objetivo. 

• ¿Deseas predecir algo? ¿Quieres averiguar cómo regular algo? ¿Quieres hacer otra cosa?

• Por ejemplo, imagina que quieras saber cuánto espacio tienes en una unidad de almacenamiento para saber cuántas cajas puedes poner en ella. Tendrás que crear un modelo para predecir la cantidad de espacio que hay en la unidad de almacenamiento. 

 2.- Determinar lo que ya sabes.

 ¿Qué información ya tienes? Haz una lista de la información que ya has encontrado. Mientras haces la lista, decide qué piezas son más relevantes y qué piezas no lo son.

• También debes hacer una lista de cualquier información que puedes asumir basado en lo que ya sabes.
• Ten en cuenta que quizás debas tomar medidas para encontrar la información que necesitas.
• Para averiguar cuánto espacio tienes en la unidad de almacenamiento, necesitarás medir la altura, el ancho y la longitud de la unidad.

3.- Determina los principios físicos que gobiernan el modelo que deseas crear.

 4.- Identifica las ecuaciones que tendrás que usar para encontrar tu respuesta.

  

 ¿Qué ecuaciones y fórmulas necesitarás para encontrar tu respuesta? ¿Cómo aplicarás estas ecuaciones y fórmulas? Asegúrate de tener una comprensión clara de cómo conectar la información que tienes en la ecuación.

• Para hallar el volumen de la unidad de almacenamiento, tendrás que usar la ecuación volumen = altura x ancho x longitud.

 5.- Averigua si otros han hecho el modelo.

 

 No hay necesidad de volver a inventar la rueda si alguien más ha desarrollado un modelo que pueda cumplir con el objetivo que buscas. Revisa en tu libro de texto o pregunta a tu profesor. Solo recuerda asegurarte de que el modelo de alguien más funcione para tu caso.

• Para obtener una idea de cómo encontrar el volumen usando la ecuación que has identificado, revisa tu libro de texto o pregunta a tu profesor.

6.-  Crea un diagrama de tu modelo.

 Un modelo matemático simple quizás no requiera un diagrama. Sin embargo, si creas un modelo complejo, un diagrama puede ayudar a determinar si tu modelo funcionará. Dibuja un diagrama que represente el modelo real que planeas hacer.

• Asegúrate de incorporar tu información al diagrama para que tengas una guía cuando crees el modelo real.

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